メネラウスの定理とチェバの定理【中学校で習わない】

メネラウスの定理とチェバの定理は中学校では習わないものですが、知っておくと高校入試でも役立ちます。特にメネラウスの定理が使える問題は私立高校の入試問題でよく出題されるので覚えておきましょう。

メネラウスの定理

下記のように1つの直線が三角形の各辺とその延長と交わっています。

この時、下記の等式が成り立ちます。

$ \dfrac{AP}{PB}\times \dfrac{BR}{RC}\times \dfrac{CQ}{QA}=1 $

いきなりこれだけ見せられても覚えられないですよね^^;

メネラウスの定理は次のような覚え方をします。

A→P→B→R→C→Q→Aと三角形の周りをぐるりと一周します。

RからCに戻るのがポイントです。

a→b→c→d→e→f の順番です。

$ \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times \dfrac{e}{f}=1 $

順番通りになっているのがわかりますね。これなら覚えやすいと思います。

チェバの定理

メネラウスの定理が覚えられたらチェバの定理も似ているのでついでに覚えてしまいましょう。

三角形の頂点A, B, Cと、辺上にない点Oとを結ぶ直線が、それぞれ辺、またはその延長と交わる点をP, Q, Rとします。

左の図は点Oが三角形の内部に、右の図は三角形の外部にあるパターンです。

この時、次の式が成り立ちます。

$ \dfrac{AP}{PB}\times \dfrac{BQ}{QC}\times \dfrac{CR}{RA}=1 $

a→b→c→d→e→f の順番に三角形の周りを一周します。（点Oは通りません）

$ \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times \dfrac{e}{f}=1 $